Kas ir ģeogrāfiskas teritorijas, piemēram, Latvijas centrs un kā to atrast? Meklējot atbildi uz šo šķietami vienkāršo jautājumu ir radusies interesanta teorija, tālāk nosaukta par centristiku, kāda matemātikā vēl nav sastapta. No tās izriet, ka centru ir bezgalīgi daudz, un tie veido par centroīdu nosauktu līkni, uz kuras katram reālam skaitlim atbilst savs punkts.

Kamēr šīs teorijas vēl nebija, tika izmēģināti dažādi centra definēšanas veidi, par kuriem stāstīts tālāk dotajā rakstā Kur Latvijai vidus? Raksts pamatos sakrīt ar to, kas publicēts žurnālā Terra (2003. g. jūnijs), tikai tagad ir izlabotas centru noteikšanā atklātās kļūdas.

Otrajā rakstā Kas vidum vidū? ir analizēti minēto kļūdu cēloņi, formulēti centristikas pamati un parādīta Latvijas centroīda, uz kuras atrodas četri no pieciem pirmajā rakstā minētajiem centriem – tiem atbilst skaitļi 1, 2 un plus - mīnus bezgalība (piektais centrs, kas nosaukts par ģeogrāfisko, nav viennozīmīgi saistīts ar Latvijas ģeometriskajām īpašībām, tāpēc paliek ārpus centristikas redzesloka). Ja centristika tiešām ir jaunatklājums, kas ir diezgan ticami, tad Latvija ir pirmā un pagaidām vienīgā valsts pasaulē, kurai atrasta centroīda.

Trešais raksts Vēlreiz par centristiku būtībā ir pirmo divu kopsavilkums – tajā īsi parādīta centristikas tapšana, formulēti tās galvenie rezultāti un nobeigumā, ļaujot vaļu fantāzijai, tēlotas nākotnes vīzijas. Šis raksts tapis kā mēģinājums palabot ne visai veiksmīgu referātu Latvijas Universitātes Matemātikas un informātikas institūta (LU MII) seminārā.

Kur Latvijai vidus?

Par dažādu teritoriju centriem ir dzirdēts vairākkārt. Savā laikā tika noteikts un iezīmēts PSRS ģeometriskais centrs, savukārt Eiropas centrs pēc dažādām versijām esot meklējams Polijā, Lietuvā vai pat Latvijā. Ko šajos gadījumos saprot ar vārdu centrs, parasti sīkāk paskaidrots netiek. Tiesa gan, sakarā ar Eiropas centru Latvijā ir redzēts zīmējums, kurā ap Eiropu apvilkta riņķa centrs atrodas netālu no Kolkas raga.

Par mēģinājumiem noteikt un iezīmēt dabā kādu Latvijas centru autoram ziņu nav, ja neskaita tālāk aprakstīto paša veikumu šajā jomā. Latvijai, līdzīgi kā jebkurai citai teritorijai, centru var definēt vismaz piecos dažādos veidos

1. Ģeogrāfiskais centrs Tīnūžu apkārtnē

Visvienkāršākā ģeogrāfiska objekta centra definīcija ir šāda – atrod tam galējos rietumu, austrumu, ziemeļu un dienvidu punktus un par centra koordinātām ņem aritmētiskos vidējos no pirmo divu ģeogrāfiskajiem garumiem un otro divu platumiem. Latvijas gadījumā šim centram, kuru sauksim par ģeogrāfisko, koordinātas ir (grādi:min:sek) 24:36:20 a.g. un 56:52:48 z.p. Tas atrodas apmēram 30 km uz A no Rīgas netālu (ap 2,5 km uz ZA) no Ogres rajona Tīnūžiem.

Ģeogrāfiskais centrs ir atkarīgs ne tikai no teritorijas ģeometriskajām īpašībām, bet arī no koordinātu tīkla – ja mainītos Zemes polu novietojums, centrs būtu citā vietā. Pārējām šeit apskatāmajām centra definīcijām šis trūkums nepiemīt.

1. zīm. Smaguma centrs

2. Smaguma centrs Suntažu mežos

Par ģeometriskas figūras centru visdabīgāk ir uzskatīt tās smaguma centru – punktu, kurā var atbalstīt no bieza papīra izgrieztu figūras atveidu, lai tas būtu līdzsvarā (1.zīm). Ģeogrāfiska teritorija gan nav plakana figūra, un tas smaguma centra definīciju sarežģī, bet Latvijas gadījumā kļūda nav pārāk liela, ja reālo figūru aizstāj ar tās projekciju plaknē – karti.

Smaguma centra un pārējo tālāk apskatīto centru noteikšanai ir izmantota datorspēles Latvija versijas 3.2 programmatūra. Tās precizitāti var vērtēt uz 2-4 (atkarībā no virziena) loka sekundēm, kas atbilst apmēram 60 m.

Ar to izskaitļotajam Latvijas smaguma centram ir koordinātas 24:56:8; 56:51:46, un tas atrodas Ogres rajona Suntažu pagastā ap 5 km uz D no Suntažiem. Šī vieta atrodas mazliet pārpurvotā mežā visai neapdzīvotā apvidū (2. zīm).

2. zīm. Autors ar sievu Helēnu un meitu Sniedzi 14.06.2003. pie pašu uzstādītā uzraksta Latvijas smaguma centrā

3. Aptveramības centrs – tomēr vēl Latvijā

Tālāk apskatīsim divus centrus, kas iegūstami, risinot minimaksa uzdevumu attālumiem no apskatāmā punkta līdz visiem Latvijas robežas punktiem. Sauksim par aptveramības centru to punktu, kurā lielākais attālums līdz robežai ir vismazākais. Citiem vārdiem, tas ir centrs vismazākajam riņķim, kas apvilkts ap Latvijas teritoriju, un tāpēc no tā ir visvieglāk aptvert ar skatienu visu Latviju. Lai to izdarītu vārda tiešā nozīmē, gan vajadzētu pakāpties gandrīz 4 km augstumā, jo tālākais robežas punkts no aptveramības centra ir 224 km attālumā, bet, piemēram, Rīgā būtu jākāpj vēl par 1,5 km augstāk.

Aptveramības centrs var izrādīties ārpus savas teritorijas, un Latvijas gadījumā tā gandrīz arī ir iznācis – šis centrs (koordinātas 24:36:28; 56:21:13) atrodas pašā pierobežā, Bauskas rajonā netālu no Skaistkalnes pagasta Kalnamuižas. No tā līdz robežupei ar Lietuvu Mēmelei ir apmēram kilometrs.

Raksta sākumā minētais Eiropas centrs Latvijā, pēc visa spriežot, ir Eiropas aptveramības centrs.

4. Nepieejamības centrs Praulienas pagastā

Nepieejamības centru vai polu parasti attiecina uz Antarktīdu, apzīmējot ar to vistālāk no kontinenta malām esošo punktu, bet analoģisks punkts, protams, ir jebkurai teritorijai, tai skaitā Latvijai. Tas ir sava veida pretstats aptveramības centram – nepieejamības centram ir vislielākais attālums līdz tuvākajam robežas punktam, citiem vārdiem, tas ir lielākā ievilktā riņķa centrs.

Latvijai tas atrodas punktā ar koordinātām 26:19:10; 56:47:27 Madonas rajona Praulienas pagastā netālu no Madonas – Saikavas ceļa apmēram kilometru pirms apdzīvotas vietas Kaļpi. Ap šo punktu apmēram 81,5 km rādiusā ir tikai Latvijas teritorija.

5. Siena kaudzi – pie Ķeipenes !

Iedomāsimies, ka visa Latvija ir līdzena pļava, vienmērīgi noaugusi ar zāli. Zāle tiek nopļauta, un iegūtais siens jāsaliek vienā lielā kaudzē. Kur jāatrodas kaudzei, lai siena pārvietošana prasītu vismazāk darba? Tiek pieņemts, ka sienu ved ar gaisa transportu pa taisnāko ceļu.

Tādā veidā definētajam sienakaudzes centram ir arī tīri matemātiska interpretācija. Pieņemsim, ka visapkārt Latvijai pa robežu uzslieta vertikāla siena, bet kādā iekšējā punktā uz zemes ar virsotni uz leju stāv konuss ar 45 grādu leņķī vērstu sānu virsmu. Tad tilpums, ko ierobežo siena, zemes virsma un konuss, ir proporcionāls siena vešanai patērētajam darbam, bet šī tilpuma dalījums ar Latvijas platību ir vidējais siena vešanas attālums. Sienakaudzes centrs tad ir punkts, kurā jānovieto konusa virsotne, lai minēto tilpumu un līdz ar to vidējo vešanas attālumu minimizētu.

Starp citu, neatkarīgi no interpretācijām var runāt par vidējo attālumu starp figūru un punktu (precīzai definīcijai jālieto integrālrēķini), un tad sienakaudzes centrs nav nekas cits, kā figūrai vidēji vistuvākais punkts. Dīvaini, ka šis tik vienkārši formulējamais jēdziens matemātikā nav ieguvis popularitāti. Interesanti būtu uzzināt, piemēram, kā visvienkāršāk atrast sienakaudzes centru patvaļīgam trijstūrim.

Latvijas sienakaudzes centrs (koordinātas 25:8:40; 56:53:1) atrodas Ogres rajonā Pečora ezera krastā 2,5 km uz DRR no Ķeipenes. Vidējais siena vešanas attālums tur ir apmēram 119 km (Rīgā būtu 129 km). Var droši apgalvot, ka Ķeipene ir Latvijai (vidēji) vistuvākā apdzīvotā vieta!

3. zīm. Latvijas centri

Ar to stāsts par Latvijas pieciem centriem, kuri visi redzami 3. zīm, ir galā. Pagaidām.

Kas vidum vidū?

Es zinu, viss ir nepareizi,

Viss nepareizi rakstīts tur

(no kādreiz dzirdētas dziesmas)

Tas nepareizi ir par rakstu Kur Latvijai vidus?, kas iesniegts žurnālam Terra un tagad, iespējams, jau ir nodrukāts. Virsrakstā minētais vidus ir izrādījies ar tukšu vidu – bez droša pamatojuma. Papētot sīkāk, atklājās, ka Latvijas centri tur ir noteikti visai aptuveni, lai neteiktu vairāk – dažus no tiem pēc precizēšanas nāksies pārvietot vairāk kā par kilometru. Lai būtu kaut neliela garantija centru izlaboto koordinātu pareizībai, tālāk būs apskatīti kļūdu cēloņi un to novēršanas iespējas, kā arī precizētas dažu centru definīcijas.

1. Par centru definīcijām

No pieciem rakstā minētajiem centriem (ģeogrāfiskais, smaguma, aptveramības, nepieejamības un sienakaudzes), neskaidrības var radīt smaguma centra definīcija, kura balstās uz fizikāliem jēdzieniem un nav vienkārši pārnesama no plaknes uz liektu virsmu. Pārējie centri ir definēti pietiekoši viennozīmīgi, un tiem nav lielas starpības, vai apskatāmā teritorija ir vai nav plakana. Jāņem tikai vērā, ka attālumi jāmēra pa virsmas ģeodēziskajām (visīsākajām) līnijām, lodes gadījumā – pa lielo riņķu lokiem.

Izrādās, ka arī smaguma centram var dot tīri matemātisku definīciju, kas pie tam ir pilnīgi analoģiska sienakaudzes centra definīcijai. Ja sienakaudzes centrs minimizē vidējo attālumu līdz dotās teritorijas punktiem, tad smaguma centrs minimizē vidējo kvadrātisko attālumu. Ja siena vešanas nosacījumi ir tādi, ka pārvietošanas izmaksas ir proporcionālas nevis vienkārši attālumam, bet gan attāluma kvadrātam (divreiz tālāka vešana maksā četrreiz dārgāk), tad siena kaudzi visizdevīgāk ir likt tieši smaguma centrā.

Abus šos centrus var definēt arī citā veidā, kas balstās nevis uz vidējo attālumu minimizēšanu, bet uz spēku līdzsvarošanu. Iedomāsimies virves vilkšanas sacensības visas Latvijas mērogā. Teritoriju sadala vienāda lieluma laukumiņos, piemēram, kvadrātkilometros. Katra laukumiņa vidū stāv viens vilcējs un velk savu virves galu, bet visi otrie gali ir sasieti kopā vienā mezglā. Kur jāatrodas mezglam, lai tas būtu līdzsvarā, ja visi vilcēji velk vienlīdz spēcīgi? Izrādās – sienakaudzes centrā!

Tagad iedomāsimies tādas pat sacensības citā variantā. Virves izvieto tāpat kā iepriekš, bet katrai pieliek vilcēju skaitu, kas proporcionāls virves garumam (piemēram, vienu vilcēju uz katru virves kilometru). Tad, lai panāktu līdzsvaru, mezgls ir jānovieto smaguma centrā.

Var pierādīt, ka plakanai figūrai abas definīcijas gan vienam, gan otram centram ir līdzvērtīgas, ko apstiprina arī skaitliskie aprēķini ar kartēm. Ļoti ticams, ka abas definīcijas ir līdzvērtīgas arī figūrām uz lodes vai citas liektas virsmas.

Apskatītās definīcijas rāda, abi minētie centri ir atsevišķi gadījumi vispārīgam n-tās pakāpes centram, kur n ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis. Šis centrs ir visizdevīgākā vieta siena kaudzei, ja vešanas izmaksas ir proporcionālas attāluma n-tajai pakāpei, un tajā līdzsvarojas virves, kuras katra tiek vilkta ar spēku, kas proporcionāls tās garuma n–1 pakāpei. Šī definīcija dod sienakaudzes centru pie n=1 un smaguma centru pie n=2. Ir pamats domāt, ka pie n®¥ iegūstam aptveramības centru. Visi tādi centri acīmredzot veido kaut kādu līkni – centroīdu – kuras vienā galā ir aptveramības centrs, bet otra gala aprises pagaidām paliek neskaidras.

2. Kļūdas un to avoti

Kļūdas centru aprēķināšanā summējas no vairākiem faktoriem.

Pirmkārt, neprecīzi vai kļūdaini var būt izmantojamie dati - teritorijas robežas punktu koordinātas. Te ir svarīga tās kartes precizitāte, no kuras ņem punktus, ņemšanas metodes precizitāte, kā arī paņemto punktu skaits un izvietojums – cik pilnīgi tie attēlo robežu.

Otrkārt, kļūdas var rasties skaitļošanas procesā.

Treškārt, kļūdas rada izmantojamo modeļu atšķirība no realitātes, ko tie attēlo. Konkrēti, Zemes virsmas attēlojums ne tikai uz plaknes, bet pat uz lodes vai elipsoīda (ģeoīda) ir saistīts ar lielākām vai mazākām neprecizitātēm.

Tālāk mēģināsim apskatīt minētos kļūdu cēloņus un novērtēt to ietekmi.

3. Cik var ticēt kartei?

Ja uz kartes ir redzams koordinātu tīkls, tad dabīgi pieņemt, ka kartē attēloto objektu koordinātas ir nosakāmas ar precizitāti, kas atbilst objekta attēla izmēram. Robežas punktu koordinātu precizitātei vajadzētu apmēram atbilst robežu attēlojošās līnijas biezumam.

zīm. Kartes (ne)precizitāte

Balstoties uz šiem pieņēmumiem, rakstā “Kur Latvijai vidus?” tika apgalvots, ka tur minētām centru koordinātām precizitāte varētu būt ap 280 metriem. Pieņēmumi tomēr izrādījās tik tālu no patiesības, ka faktiskā kļūda dažiem centriem iznāca četrreiz lielāka.

Nesakritība atklājās, kad tika izdarīts mēģinājums robežas punktu koordinātas ņemt ne no spēlē LATVIJA lietotās kartes, bet no citas, sīkākas (turpmāk sauksim pirmo par karti A, bet otro par karti B). Paņemot robežas punktus no kartes B un attēlojot tos kartes A koordinātās, parādījās 1. zīm. redzamā aina – novirzes ne tikai manāmi pārsniedz robežlīnijas biezumu, bet ir arī izteikti sistemātiskas ar nobīdi ZR virzienā. Pārrēķinot smaguma un sienakaudzes centrus, izmantojot kartes B datus, tie pārvietojās apmēram par 700 m uz ZRR. Tā vēl nav visa kartes A neprecizitātes ietekme uz centriem, bet par to mazliet vēlāk. Vispirms mēģināsim atbildēt uz pilnīgi dabīgo nākošo jautājumu – cik mēs varam ticēt kartei B?

zīm. Te jau labāk

Pirmais, kas ienāk prātā – jāņem palīgā vēl kāda trešā karte C. Tas arī tika izdarīts. Kartes A un B ir izdotas mūsdienās, bet karte C – 1940 gadā vēl pirmās Latvijas brīvvalsts laikā. Kā redzams 2. zīm., kur no kartes B iegūtie robežas punkti parādīti kartes C fragmentā, te novirzes ir nelielas un nav sistemātiskas. Jāņem vērā, ka mazliet varēja izmainīties arī pati robeža, kas toreiz bija ar Poliju, bet tagad ir ar Baltkrieviju, jo ir mainījušies dabas objekti, pa kuriem sprausta robeža. Piemēram, ezeriņš, kuru robeža šķērso uz DR no Krāslavas, kartē B vairs nav atrodams.

Vēl lielāku garantiju, ka karte B tomēr ir precīza, dod tās salīdzināšana ar GPS (globālās pozicionēšanas sistēmas) aparatūras rādījumiem. Tāda salīdzināšana ir izdarīta Ventspils šosejas posmā no Kandavas pagrieziena līdz Rīgai. Sekojot ar GPS iegūta punkta kustībai pa plaukstdatorā ievietotiem kartes B fragmentiem, varēja redzēt, ka tas tiešām virzās pa kartē iezīmēto ceļu. Līdz ar to kartes B precizitāte šaubas nerada. Skaitliskā izteiksmē tā ir tuva vienai ģeogrāfiskā platuma sekundei, kas ir apmēram 30 m.

4. Skaitļošanas teorija un prakse

Kartes precizitāte pati par sevi vēl neko negarantē – jāprot paņemt no tās informāciju un to pareizi apstrādāt. Šim nolūkam spēles LATVIJA ietvaros tika izveidota programmatūra koordinātu iegūšanai no karšu fragmentiem un teritoriju centru izskaitļošanai.

No kartes B iegūto koordinātu precizitāte vairākiem objektiem ir salīdzināta ar GPS rādījumiem un atšķirība nav pārsniegusi 1-2 sekundes, tātad ir pietiekoši droša. Atstāsim pagaidām jautājumus par robežas punktu skaita pietiekamību un kļūdām, ko rada Zemes virsmas attēlošana kartē. Pieņemsim, ka teritorija ir plakana un mūsu rīcībā ir robežas punktu koordinātas ar pietiekoši mazu soli. Kā pārliecināties par to, ka programma tiešām izrēķina vajadzīgos centrus?

Aptveramības un nepieejamības centriem rēķināšana ir samērā vienkārša – vajag tikai pareizi atrast attālumus pēc dotajām koordinātām un sameklēt vajadzīgos minimumus un maksimumus. Attālumus programma rēķina uzreiz sfēriskajā projekcijā pēc formulas

d=R arc cos(sin p₁ sin p₂+ cos p₁ cos p₂ cos (g₁ - g₂)),

kur R – Zemes rādiuss, g₁, p₁ un g₂, p₂– punktu ģeogrāfiskās koordinātas. Formulas un programmas pareizība ir pārbaudīta, rēķinot tos pašus attālumus plakanajā projekcijā un iegūstot labu sakritību.

Smaguma un sienakaudzes centrus programma rēķina plaknē, un te pareizības pārbaudei lieliski noder iespēja definēt minētos centrus divos dažādos veidos. Abos veidos izrēķinātajām centru koordinātām ir vērojama pilnīga sakrišana, un tas apstiprina gan teorētisko spriedumu, gan iegūto rezultātu pareizību. Interesanti atzīmēt, ka neliela, bet sistemātiska atšķirība pēc abām definīcijām rēķinātajos centros palīdzēja atrast programmas kļūdu (bija ieviesusies neprecizitāte galējo punktu izmantošanā), pēc kuras novēršanas atšķirība izzuda.

5. Plakanā Latvija

Kā jau minēts, smaguma un sienakaudzes centrus patreiz var rēķināt tikai plakanām figūrām – sfēriskajam gadījumam algoritmi ir krietni sarežģītāki un nav realizēti. Sākotnēji par Latvijas plakanā attēlojuma standartu tika izmantota karte A, bet tad atklājās, ka tai pat koordinātu tīkls ir uzzīmēts visai aptuveni – atšķirība starp sfērisko un plakano koordinātu dotajiem attālumiem Latvijas robežās sniedzās pat līdz 4 km. Šī defekta dēļ centru noteikšanā radās ap 0,5 km liela neprecizitāte, kas nelaimīgā kārtā pēc virziena sakrita ar kļūdainās robežas radīto efektu.

Lai situāciju labotu, programmatūrā tika ieviesta virtuālā karte – koniska projekcija, kurā visi meridiāni un divas uzdotās bāzes paralēles ir attēloti bez garuma kropļojumiem. Par bāzes paralēlēm ir izvēlētas 56,4 un 57,4 grādi zp. Skaitliskie eksperimenti rāda, ka šī karte Latvijas mēroga attālumus kropļo ne vairāk par dažiem desmitiem metru, kas centru rēķināšanai ir pilnīgi pietiekami. Virtuālās kartes atbilstību savam uzdevumam apstiprina fakts, ka eksperimenta kārtā nomainot bāzes paralēles uz 56 un 58 grādiem, neviens no centriem nemainīja savu vietu pat par sekundi.

6. Kopsavilkums

Ar virtuālo karti un robežas punktu koordinātām no kartes B ir noteiktas jaunās centru koordinātas, kuru salīdzinājums ar vecajām dots 1. tabulā. Kā redzams, vissmagāk ir klājies siena kaudzei, kura pēc 1,24 km gara ceļojuma tik tikko neiepeldēja Pečora ezerā, apstājoties pašā tā krastā. Lai novērtētu robežas punktu skaita pietiekamību, centri ir rēķināti arī katru otro punktu izlaižot (uzrādīta starpība sekundēs). Tabulā nav ietverts ģeogrāfiskais centrs (koordinātas 24:36:20; 56:42:48), kuram nekas nav mainījies.

1. tabula. Pārskats par centru koordinātām

Centrs	Jaunās koordinātas		Katrs 2. (+– sek.)		Vecās koordinātas		Pārbīde km
Smaguma	24:56:8	56:51:46	–2	+1	24:57:10	56:51:30	1.15 ZRR
Aptveramības	24:36:28	56:21:13	0	0	24:36:30	56:21:20	0.23 DDR
Nepieejamības	26:19:10	56:47:27	–2	–2	26:19:30	56:47:30	0.35 DRR
Sienakaudzes	25:8:39	56:53:1	0	+1	25:9:50	56:52:50	1.24 ZRR

Kādu precizitāti var garantēt jaunajām centru koordinātām? Šķiet, ka tagad visas iespējas rupji kļūdīties praktiski ir novērstas. Robežas punkti ir ņemti ar precizitāti līdz sekundei, to skaits un izvietojums var dot kļūdu ne lielāku par 2 sekundēm, pārējie faktori visdrīzāk jūtamas kļūdas nerada. Līdz ar to var gandrīz droši teikt, ka centri noteikti ar 100 m precizitāti un ļoti ticams, ka faktiski kļūda nepārsniedz 50 m.

Nav ļaunuma bez labuma. Šaubas par Latvijas centru noteikšanas pareizību un atrastās kļūdas deva impulsu, lai pārbaudītu un uzlabotu programmatūru, izpētītu karšu precizitāti, papildinātu teorētiskos priekšstatus par figūru centriem. Rezultātā nākošās spēles LATVIJA versijas iegūs līdzekļus, ar kuriem katrs varēs bez grūtībām noteikt centrus jebkurai teritorijai (rajonam, pagastam un taml.), ja vien tai būs datorā ievadāma karte ar koordinātu tīklu.

Rīgā, 2003. g. 3. jūnijā

7. Ievads centristikā

Un arī te punktu likt izrādījās par agru. Pētot jautājumu par figūru centriem, pamazām ir iznākusi turpat vai vesela matemātikas nozare, kuru varētu nosaukt par centristiku. Tālākais ir uzskatāms par mēģinājumu formulēt centristikas pamatus.

Vārds centrs nozīmē apmēram to pašu, ko vidus. Sāksim ar jautājumu par vidējo lielumu galīgai skaitļu kopai a₁, a₂, ..., a_n. Kopas vidējo var definēt dažādi. Visbiežāk lieto vidējo aritmētisko (a₁+a₂+ ...+a_n)/n un vidējo ģeometrisko, kas ir n-tās pakāpes sakne no skaitļu reizinājuma. Mazāk pazīstami ir vidējais kvadrātiskais (kvadrātsakne no kvadrātu vidējā aritmētiskā) un vidējais harmoniskais n/(1/a₁+1/a₂+ ...+ 1/a_n). Visos minētajos gadījumos vidējo lielumu var izteikt ar kopēju formulu

(1) a=g^-1((g(a₁)+ g(a₂)+ ...+ g(a_n))/n),

kur g(x) ir kāda funkcija, bet g^-1(x) ir tās apgrieztā funkcija. Vidējam aritmētiskajam, ģeometriskajam, kvadrātiskajam un harmoniskajam par g(x) kalpo attiecīgi funkcijas x, ln(x), x² un 1/x. Vēlāk redzēsim, ka šīs funkcijas ietilpst vienā kopējā virknē.

Tālāk apskatīsim galīgu plaknes punktu kopu A={A₁, A₂, ..., A_n} un mēģināsim definēt tās centru. Ņemsim patvaļīgu plaknes punktu O un apzīmēsim ar a₁, a₂, ..., a_n tā attālumus līdz atbilstošajiem kopas punktiem. Aprēķināsim šiem attālumiem vidējo lielumu a pēc formulas (1), lietojot kādu funkciju g(x). Nosauksim par funkcijai g(x) atbilstošo kopas a-centru to punktu O, kuram a ir vismazākais. Lietojot dažādas funkcijas g(x), iegūstam dažādus centrus, kurus var nosaukt atbilstošo vidējo lielumu vārdos – aritmētiskais, ģeometriskais, kvadrātiskais, harmoniskais.

Definēsim centru vēl otrā veidā un parādīsim, ka abas definīcijas ir savstarpēji saistītas. Lietojot iepriekšējos apzīmējumus, novilksim no punkta O izejošus vektorus kopas A punktu virzienā ar garumiem attiecīgi f(a₁), f(a₂), ..., f(a_n), kur f(x) ir kāda funkcija. Nosauksim par funkcijai f(x) atbilstošo kopas b-centru tādu punktu O, kurā minēto vektoru summa ir 0.

Abas definīcijas saista sekojošā teorēma, kuru varētu nosaukt par centristikas centrālo teorēmu.

Teorēma. Funkcijai g(x) atbilstošais punktu kopas a-centrs sakrīt ar šīs funkcijas atvasinājumam f(x)=g’(x) atbilstošo tās pašas kopas b-centru.

Pierādījums. Katram kopas punktam A_i var piekārtot visos plaknes punktos O definētu funkciju D_i(O)= g(a_i), kur a_i ir attālums no O līdz A_i. Tad no punkta O izejošs vektors virzienā uz A_i ar garumu g’(a_i) ir funkcijas D_i(O) gradients punktā O. Ir zināms, ka funkciju summas gradients ir vienāds ar šo funkciju gradientu summu. No formulas (1) redzams, ka ja funkcija g(x) ir monotona (bet tā tāda ir, jo citādi neeksistē apgrieztā funkcija), tad lieluma a minimums sakrīt ar summas g(a₁)+ g(a₂)+ ...+ g(a_n), kas ir arī funkciju D_i(O) summa,minimumu vai maksimumu. Abos gadījumos minētās summas gradients ir nulle, kas arī pierāda teorēmu.

Atzīmēsim, ka abās definīcijās nekas nemainās, ja funkciju g(x) vai f(x) pareizina ar patvaļīgu konstanti, tāpēc varam uzskatīt, ka harmoniskajam, ģeometriskajam, aritmētiskajam un kvadrātiskajam centriem par funkcijām f(x) kalpo atbilstoši 1/x², 1/x, 1 un x jeb x^-2, x^-1, x⁰ un x¹. Tas arī sarindo visus šos centrus kopējā virknē pēc viena parametra – pakāpes rādītāja. Par centra pakāpi p sauksim pirmajā definīcijā minētās funkcijas pakāpes rādītāju, kas ir par vienu lielāks - attiecīgi –1, 0, 1 un 2 (ģeometriskajam centram piekārtotā pakāpe 0, tiesa gan, definīcijā tieši nefigurē, jo tam g(x)=ln(x), nevis x⁰). Vēl atzīmēsim, ka smaguma centru atšķirībā no visiem pārējiem centriem var atrast ļoti vienkārši – tā koordinātas plaknē ir vienādas ar kopas punktu atbilstošo koordinātu vidējo aritmētisko. Teorētiski maz kas mainās, pārejot no plaknes uz liektām virsmām, ja attālumus mēra pa ģeodēziskajām līnijām. Tādā gadījumā tikai smaguma centrs zaudē minēto vienkāršo aprēķināšanas iespēju.

Pārejot no galīgām punktu kopām uz ģeometriskām figūrām, jāizdara robežpāreja – figūras centru atrod, ņemot tās platībā vienmērīgi izvietotu punktu kopu un šo punktu skaitu neierobežoti palielinot. Nav grūti saskatīt, ka figūras kvadrātiskais centrs ir arī tās smaguma centrs, bet aritmētiskais centrs ir tas, ko mēs nosaucām par sienakaudzes centru.

Pakāpe p var pieņemt jebkuru reālu vērtību, tāpēc vispārīgā gadījumā figūrai ir bezgalīgi daudz centru, kuri veido nepārtrauktu līniju – figūras centroīdu. Teorētiskie apsvērumi liek domāt, ka centroīdas vienā galā ir aptveramības centrs, bet otrā – nepieejamības centrs, kas ir centri attiecīgi mazākajam apvilktam un lielākajam ievilktam riņķim.

Sīkāki pētījumi rāda, ka pie p= –2 figūras vidējais attālums no centra kļūst vienāds ar nulli. Konkrēti, tika pētīts ķīlis – vienādsānu trijstūris ar augstumu 1 un bezgalīgi mazu pamata malu. Grafikos 3. zīm. parādīts dotās pakāpes vidējais attālums un tās pašas pakāpes centra attālums no ķīļa šaurākā leņķa virsotnes. Pirmais grafiks, starp citu, reizē rāda arī dotās pakāpes vidējo attālumu no centra riņķim ar rādiusu 1. Pie p®¥ vidējais attālums tiecas uz 1, bet centra attālums ķīlim – uz 0.5. Kā redzams, ķīlim jau pie p= –2 tiek sasniegts nepieejamības centrs, kas atrodas figūras platākajā galā, un vēl mazākām p vērtībām centra rēķināšana zaudē jēgu.

Interesants ir fakts, ka ķīlim pie p=1 (sienakaudzes centrs) un p=2 (smaguma centrs) abos grafikos uzrādītās vērtības (konkrēti, 2/3 un 1/Ö2) mainās vietām.

3. zīm. Attālumi no ķīļa virsotnes

Citām figūrām tomēr pie p= –2 nepieejamības centrs netiek sasniegts, un centrus var rēķināt arī pie p< –2, lietojot b-centra definīciju.

8. Latvijas centroīda

Atgriežoties pie Latvijas centriem, redzam, ka tur dažu vēl trūkst.

Latvijas ģeometriskā centra (pakāpe p=0) koordinātas ir 25:25:20, 56:53:46. Tas atrodas Ogres rajona Mazozolu pagasta Līčupē, gandrīz pašā šīs apdzīvotās vietas centrā. Tajā būtu līdzsvars, ja katrs Latvijas punkts to vilktu uz savu pusi ar spēku, apgriezti proporcionālu attālumam.

Dabā gan tādu spēku ir grūti atrast, toties pazīstamais gravitācijas spēks ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam. Līdz ar to harmoniskajam centram (p= –1), jau ir fizikāla interpretācija. Ja Visumā būtu tikai plakans Latvijas atveids no plāna vienāda biezuma materiāla un vēl kāda ļoti maza bumbiņa, tad gravitācijas spēks pēdējo novietotu tieši šajā centrā. Tā koordinātas ir 25:39:24, 56:53:50, un tas atrodas Ērgļu A nomalē, ap 0,5 km uz Z no Pļaviņu un Braku ceļu sazarojuma.

Matemātiski interesants ir arī centrs ar p= –2, kurā sākas centroīdas regulārā daļa – tā, kurā darbojas abas centra definīcijas. To varētu nosaukt par sākuma centru, un tas atrodas mežainā vietā ap 10 km uz A no Ērgļiem (koordinātas 25:48:48, 56:53:28).

Beidzot ir izskaitļota arī Latvijas centroīda, kas redzama 4. zīm. ar norādītu smaguma centra atrašanās vietu un 5. zīm. vairāk detalizēti. Centroīda ir aprēķināta p vērtībām no –10 līdz 100 (ārpus šī intervāla patreiz izmantojamā skaitļošanas metode nedod drošus rezultātus), un ir pietiekoši skaidri redzams, ka tā tiecas vienā galā uz nepieejamības centru (N.C.), bet otrā uz aptveramības centru (A.C.), tāpēc līknei ir pievienoti arī šie galējie punkti. Centroīdas garums ir 152.7 km. Interesanti atzīmēt, ka centroīda paiet garām Latvijas augstākajam punktam – Gaiziņam – tikai apmēram puskilometra attālumā.

4. zīm. Latvijas centroīda (kopskats)

5. zīm. Latvijas centroīda (sīkāk)

Ļoti iespējams, ka Latvija ir pirmā valsts pasaulē, kurai atrasta centroīda. Sekojošajā tabulā dots pārskats par visu Latvijas centru virkni.

2. tabula. Latvijas matemātiskie centri

Pakāpe	Centrs	Koordinātas		Atrašanās vieta
-¥	Nepieejamības	26:19:10	56:47:27	Praulienas pag.
-2	Sākuma	25:48:48	56:53:28	Vestienas pag.
-1	Harmoniskais	25:39:24	56:53:50	Ērgļi
0	Ģeometriskais	25:25:20	56:53:46	Līčupe
1	Sienakaudzes	25:08:40	56:53:01	Ķeipenes apkārtne
2	Smaguma	24:56:08	56:51:46	Suntažu pag.
¥	Aptveramības	24:36:28	56:21:13	Skaistkalnes pag.

9. Centristikas jaunumi

Pētījumi par centriem turpinās, un palaikam rodas interesanti jaunumi, kuriem veltīta šī nodaļa. Pirmais no tiem dod iespēju diezgan pārliecinoši atbildēt uz pašā sākumā uzdoto jautājumu - kur Latvijai vidus? Citiem vārdiem, kurš tad no daudzajiem centriem ir pats vidējākais?

Apskatīsim kādu patvaļīgu ģeogrāfisku teritoriju, kuru sauksim par zemi, un tās papildinājumu līdz pilnai zemeslodei, sauktu par ārzemi. Atradīsim abām centroīdas un konstruēsim ārzemes centroīdai līkni, sastāvošu no tai diametrāli pretējiem zemeslodes punktiem. Nosauksim iegūto līkni par zemes ārcentroīdu un tās punktus par ārcentriem. Tā kā zemes mazākais apvilktais riņķis sakrīt ar ārzemes lielāko ievilkto riņķi un otrādi, tad centroīdai un ārcentroīdai abi galapunkti ir kopēji, bet tās iet pretējos virzienos – nepieejamības centrs sakrīt ar aptveramības ārcentru un otrādi. Iedomāsimies divus ceļotājus, kas reizē iet viens pa centroīdu, otrs pa ārcentroīdu, katrā laika momentā būdami vienas un tās pašas pakāpes centros. Vai viņi kaut kur satiksies, vai arī paies viens otram garām? Izrādās, satiksies – sienakaudzes centrā, kas abām līknēm ir kopējs!

Šo apgalvojumu nav grūti pierādīt, izmantojot otro centra definīciju tās uzskatāmajā formā. Sienakaudzes centram ir tā īpatnība, ka definīcijā minētie virves vilcēji katrs velk ar vienādu spēku, kas nav atkarīgs no attāluma līdz centram. Izvietosim vilcējus vienmērīgi pa visu zemeslodes virsmu un dosim katram virvi pusekvatora garumā, kas stiepjas no zemes sienakaudzes ārcentra līdz ārzemes sienakaudzes centram (šie punkti pēc definīcijas ir diametrāli pretēji). Pieņemsim, ka sākumā visi velk virzienā prom no zemes sienakaudzes ārcentra. Simetrijas dēļ spēki būs līdzsvarā. Tad pagriezīsim ārzemes vilcējus pretējā virzienā. Tā kā viņi tagad velk katrs uz savu pusi savas teritorijas sienakaudzes centru, tad viņu spēki līdzsvarojas. Bet tad līdzsvaram jāsaglabājas arī otrā galā, no kura ir paņemti nost savstarpēji līdzsvaroti spēki. Tātad zemes sienakaudzes ārcentrs reizē ir tās sienakaudzes centrs, kas arī bija jāpierāda.

Redzam, ka centroīdai un ārcentroīdai ir vismaz 3 kopēji punkti, un rodas jautājums, vai tās nesakrīt vispār. Skaitliskie aprēķini, kas izdarīti Latvijas teritorijai, liecina, ka vispārējā gadījumā nē – līknes atšķiras, kaut arītās ir diezgan tuvas viena otrai. Latvijas centroīdas un ārcentroīdas krustojums sienakaudzes centrā lielā mērogā parādīts 6. zīm. (zīmējuma platums atbilst apmēram 0,5 km, vertikālā virzienā lietots desmitreiz lielāks mērogs). Zīmējumā attēlotie rezultāti apstiprina teorētiski iegūtos secinājumus, ka līknes iet pretējos virzienos, bet ārcentri izvietojas daudz tuvāk sienakaudzes centram nekā tādu pašu pakāpju centri. Pēdējā īpatnība, kas piemīt visām par zemeslodi stipri mazākām teritorijām, kavē pilnas ārcentroīdas atrašanu, jo tās lielāko daļu veido grūti aprēķināmie augstu pakāpju centri. No otras puses, tā pastiprina jau no iepriekšējā izrietošo atziņu, ka ģeogrāfiskai teritorijai tieši sienakaudzes centrs ir liekams visu centru centrā. Piedevām vēl Latvijas sienakaudzes centrs no visiem veselu pakāpju centriem atrodas vistuvāk centroīdas viduspunktam.

6. zīm. Centroīdas un ārcentroīdas krustpunkts

Ir atrasts vēl viens centroīdā neietilpstošs centrs, kurš atšķirībā no ģeogrāfiskā centra tomēr ir atkarīgs tikai no teritorijas ģeometriskajām īpašībām. Tas ir punkts ar minimālo starpību starp lielāko un mazāko attālumu no dotā punkta līdz teritorijas robežai. Uzskatāmākā interpretācija varētu sekojoša. Apskatīsim visus riņķus ar centru dotajā punktā. Tie ir sadalāmi trīs kopās atkarībā no tā, vai riņķis ir teritorijas iekšpusē, ārpusē, vai arī krusto tās robežu. Pirmajos divos gadījumos sauksim riņķi par skaidru, bet trešajā par neskaidru. Kompaktas teritorijas gadījumā neskaidrie riņķi veido gredzenu ar vismazāko platumu mūsu jaunajā centrā, kuru tāpēc var nosaukt par skaidrības centru.

Latvijas skaidrības centra koordinātas ir 24:35:22, 56:47:56, un tas atrodas iepretī Ogres pilsētai Daugavas otrā krastā pie Rīgas – Jaunjelgavas šosejas. Tā attālums līdz Rīgas centram ir 33,5 km, bet līdz tuvākajam centroīdas punktam – apmēram 7 km. Ir izmēģināta arī cita skaidrības centra definīcija, minimizējot nevis minētā gredzena platumu, bet gan tā laukumu. Šajā gadījumā tomēr būtiski jaunu centru iegūt neizdevās, jo Latvijai tas ar precizitāti līdz kilometram sakrīt ar aptveramības centru

10. Latvijas centru vizītkartes

Nobeigumā – bildītes ar dabā jau uzstādītajām centru vizītkartēm. Tās ir noliktas savās vietās attiecīgi 2003. g. 14. jūnijā, 22. jūnijā, 12. jūlijā un 16. augustā. Pēdējā no tām, nepieejamības centrā, ir precizēta atkārtoti, nomainot 28. jūnijā nepareizi uzlikto (dabā tā jau bija nozudusi). Tas tāpēc, ka šī centra noteikšanā atklājās vēl viena kļūda, un to nācās pārvietot par apmēram 800 m uz A, gandrīz vai atpakaļ uz pašu pirmo, žurnālā Terra minēto vietu. Atzīmēsim, ka sienakaudzes centram uzrādītais ģeogrāfiskais platums par sekundi atšķiras no tabulā dotā, jo pēdējais vēlāk ir precizēts, uzlabojot rēķināšanas algoritmu.

Saturs

Priekšvārds

Viss nepareizi rakstīts tur

Centrs